Maturità 2025, come affronterebbe la seconda prova ChatGPT? L’AI alle prese con le tracce del liceo classico e scientifico

Rinnovo Patente? Facile ed Economico

Maturità 2025, ecco come ChatGPT avrebbe svolto la seconda prova per il liceo Classico (versione di latino) e Scientifico (matematica)

Il 18 giugno è iniziata ufficialmente la Maturità 2025 per oltre 500mila studenti in tutta Italia.  Ieri abbiamo chiesto a ChatGPT di cimentarsi insieme ai ragazzi nella prima prova scritta che consiste nel tema in italiano. L’intelligenza artificiale ha quindi affrontato la traccia dedicata al messaggio “I giovani, la mia speranza” del giudice Paolo Borsellino.

Oggi, invece, nel giorno della seconda prova abbiamo messo ChatGPT a lavorare sulle tracce per il liceo classico (una versione di latino di Cicerone) e quello scientifico (matematica).

Maturità 2025, la traduzione di ChatGPT della versione di latino

Di seguito la traduzione dal latino di ChatGPT del testo di Cicerone sottoposto agli studenti:

Il testo originale

Amor enim, ex quo amicitia nominata est, princeps est ad benevolentiam coniungendam. Nam utilitates quidem etiam ab eis percipiuntur saepe, qui simulatione amicitiae coluntur et observantur temporis causa. In amicitia autem nihil fictum est, nihil simulatum est, et, quidquid est, id est verum et voluntarium. Quapropter a natura ipsa videtur profecta amicitia, cum intereos, qui se amant, et benevolentia et caritate iunguntur, ab eaque caritate, quamquam exspectatio fructus nulla subest, tamen amicitia delectat etiamsi nihil utilitatis ex ea proveniat. Quod si utilitas amicitias confirmaret, eadem commutatio utilitatum caritatem conciliaret non amicitias, quae, cum a caritate profecta sit, nec ab utilitate umquam potest dissolvi. Ex quo efficitur, ut et utilitatem amicitia, non utilitas amicitias pariat. Illud autem verum est, nec sine causa, quod a sapientibus dicitur, quod, qui ipsi sibi plurimum confidunt et virtute et sapientia sic armati sunt, ut nullius egere videantur, iis maxime opus esse amicitia sententiaeque eorum ad verum consilium cum amicorum tum etiam multitudinis usum pervenire. Quamquam hoc inter amicos, ut inter bonos, iucundum est, quod aeque uterque alteri studet, ut, quasi quaedam emulatio dignitatis exsistat, quamquam uno in loco sit amicitia. Itaque non aqua, non igne, ut aiunt, pluribus in locis utimur quam amicitia. Neque ego nunc de vulgari aut de mediocri, quae tamen ipsa et delectat et prodest, sed de vera et perfecta loquor, qualis eorum, qui pauci nominantur, fuit. Nam et secundas res splendidiores facit amicitia et adversas partiens communicansque leviores.

Traduzione di ChatGPT

“L’amore, infatti, da cui prende nome l’amicizia, è il primo principio per unire le persone con benevolenza. Infatti, i vantaggi vengono spesso ottenuti anche da coloro che sono coltivati e rispettati solo per convenienza, con la finzione dell’amicizia. Nell’amicizia, però, non c’è nulla di falso, nulla di simulato, e tutto ciò che esiste è autentico e spontaneo. Perciò l’amicizia sembra essere nata dalla stessa natura, poiché tra coloro che si amano vi è un legame di benevolenza e di affetto, e da quell’affetto, anche se non si attende alcun vantaggio, l’amicizia comunque dà gioia, anche se da essa non deriva alcuna utilità.

E se l’utilità fosse ciò che rafforza le amicizie, allora lo scambio di vantaggi creerebbe affetto, ma non amicizia — la quale, essendo nata dall’affetto, non può mai essere distrutta dall’assenza di utilità. Da ciò risulta che è l’amicizia a generare utilità, non la utilità a generare amicizie.

È anche vero, e non senza motivo, ciò che viene detto dai saggi: che coloro che confidano molto in sé stessi e sono armati di virtù e sapienza al punto da sembrare non aver bisogno di nessuno, sono proprio quelli che hanno maggiormente bisogno dell’amicizia; e che le opinioni di tali persone raggiungono il consiglio più giusto proprio grazie sia all’uso degli amici sia a quello della collettività.

E tuttavia, tra amici, come tra persone buone, è piacevole il fatto che ciascuno si impegna per l’altro allo stesso modo, tanto che quasi nasce una sorta di competizione nella dignità, anche se l’amicizia rimane unita in un solo vincolo.

Così, come si dice, non usiamo nulla in più luoghi che l’acqua e il fuoco, se non l’amicizia. E non parlo ora di un’amicizia comune o mediocre, che pure è gradevole e utile, ma di quella vera e perfetta, come fu quella di pochi uomini che vengono ricordati. Infatti, l’amicizia rende più splendide le fortune favorevoli, e divide e allevia quelle avverse”.

Maturità 2025, ChatGPT risolve i quesiti di matematica

ChatGPT ha quindi proposto la sua soluzione anche per la traccia di matematica al liceo scientifico, tenendo conto che per realizzare grafici è necessario abbonarsi alla versione a pagamento:

La traccia

PROBLEMA 1
«La ragione non è nulla senza l’immaginazione» – Cartesio
Dati 𝑟 > 0 e 𝑘 < 0, si considerino la circonferenza 𝐶𝑟 , di centro l’origine e raggio 𝑟, e la funzione
𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑘 |𝑥| .
a) Verificare che 𝑓𝑘 è continua ma non derivabile in 𝑥 = 0 qualunque sia il valore di 𝑘 .
Individuare i due valori di 𝑟 in corrispondenza dei quali 𝐶𝑟 delimita con il grafico di 𝑓𝑘 , per
opportuni valori di 𝑘 , un settore circolare nel semipiano 𝑦 ≤ 0 di area 𝜋 e contorno di
lunghezza 4 + 𝜋. Stabilito che 𝑟 = 2 è il maggiore di tali valori, in uno stesso riferimento
cartesiano 𝑂𝑥𝑦, tracciare la circonferenza 𝐶2 e il grafico della funzione 𝑓−1 .
b) Studiare la funzione 𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥 2 , specificandone dominio, simmetrie, punti di non
derivabilità, intervalli di monotonia ed insieme immagine. Verificare che il grafico di 𝑔 coincide
con la parte di 𝐶2 che si trova nel semipiano 𝑦 ≥ 0. Spiegare perché 𝑔 non è invertibile nel
suo dominio ed esplicitare l’intervallo [𝑎; 𝑏] di ampiezza massima, con 𝑏 > 0, nel quale 𝑔
ammette una funzione inversa ℎ. Qual è l’espressione analitica di ℎ?
c) Sia 𝐴 un punto del grafico di 𝑔, situato nel I quadrante, e siano 𝑀 e 𝑅 le sue proiezioni
ortogonali sugli assi del riferimento. Determinare le coordinate di 𝐴 in modo che il quadrilatero
𝐴𝑀𝑂𝑅 abbia area massima. Dopo aver verificato che tale quadrilatero è un quadrato,
dimostrare che è anche quello di perimetro massimo.
d) Si consideri la funzione 𝐹 (𝑥) = ∫−2 √4 − 𝑡 2 𝑑𝑡, con 𝑥 ∈ [−2; 2]. Determinare 𝐹(2) e
tracciare un grafico di 𝐹 , dopo averne studiato monotonia e concavità. Scrivere, inoltre,
l’equazione della retta tangente al grafico di 𝐹 nel suo punto di flesso.

PROBLEMA 2
«La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l’infinito» – attribuita a Platone

I grafici 𝛾1 e 𝛾2 rappresentano, rispettivamente, le funzioni 𝑓 e 𝑔, definite su ℝ, le cui espressioni
analitiche sono
𝑓 (𝑥) = 𝑝(𝑥) ∙ 𝑒 𝑝(𝑥) , 𝑔(𝑥) = 𝑞 (𝑥) ∙ 𝑒 𝑝(𝑥)
con 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinomi di secondo grado.
a) Determinare i polinomi 𝑝(𝑥) e 𝑞 (𝑥) utilizzando le informazioni deducibili dai grafici in figura,
considerando che 𝜑 = (1+√5)/2 è ascissa di un punto stazionario di 𝑓 e che −𝜑, ascissa del
punto 𝐴, è uno zero di 𝑔.
b) Posto che 𝑝(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2 , studiare la funzione 𝑓 specificando l’equazione dell’asintoto, le
ascisse dei punti stazionari e di flesso. Verificare che la retta di equazione 𝑥 = 1/2 è asse di
simmetria per 𝛾1 . Determinare l’insieme immagine di 𝑓 e indicare, al variare del parametro
reale 𝑘 , il numero di soluzioni dell’equazione 𝑓 (𝑥) = 𝑘 .
c) Stabilito altresì che 𝑞 (𝑥) = 1 − 𝑥 − 𝑥 2 , verificare che 1/𝜑 è l’ulteriore zero di 𝑔 e che il
triangolo 𝐴𝐵𝐶 è rettangolo. Dimostrare che 𝛾1 e 𝛾2 hanno un unico punto di intersezione, del
quale si chiedono le coordinate. Considerati su 𝛾1 e 𝛾2 , rispettivamente, i punti 𝑃1 e 𝑃2 aventi
uguale ascissa 𝑥 ≥ 1/2 , calcolare la lunghezza massima che può assumere il segmento 𝑃1 𝑃2 .
d) Calcolare l’area della regione limitata 𝑅 compresa tra 𝛾1 , 𝛾2 e l’asse delle ordinate. Individuare,
successivamente, il valore di 𝑡 ≥ 1/2 affinché la retta 𝑥 = 𝑡 delimiti con i due grafici una regione
𝑅′ equivalente ad 𝑅.

QUESITI

1. Dato un triangolo 𝐴𝐵𝐶 , sia 𝑀 il punto medio del lato 𝐵𝐶 e siano 𝐵′ e 𝐶′ due punti,
   rispettivamente, sul lato 𝐴𝐵 e sul lato 𝐴𝐶 , in modo tale che 𝐴𝐵′ = 1/3 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶′ = 1/3 𝐴𝐶 .
   Dimostrare che, se i segmenti 𝑀𝐵′ e 𝑀𝐶′ sono tra loro congruenti, allora lo sono anche i lati
   𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 .
2. Si considerino la superficie sferica di equazione (𝑥 − 1)² + (𝑦 − 2)² + 𝑧² = 1 e il piano 𝜋
   di equazione 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 𝑑 = 0. Discutere, al variare del parametro reale 𝑑 , se il piano 𝜋
   è secante, tangente o esterno alla superficie sferica. Determinare il valore del parametro 𝑑 in
   modo che 𝜋 divida la sfera in due parti uguali.
3. L’opera futurista di Boccioni “Forme uniche della continuità nello spazio” del 1913, riportata sulla
   moneta da 20 centesimi, descrive un uomo che avanza velocemente nello spazio. Una parte del
   profilo evidenziato in figura, in un opportuno sistema di riferimento, può essere approssimato dalla
   funzione
   𝑓 (𝑥 ) = {
   −4𝑥² − 8𝑥, −1≤𝑥 ≤0
   1 + tan³(𝑥 + 𝜋/4), 0<𝑥≤2
   Tracciare il grafico di 𝑓 , dopo averne analizzato la continuità e la derivabilità nell’intervallo [−1; 2].
4. Assegnata una funzione 𝑔, derivabile in ℝ e tale che 𝑔(𝜋/4) = 𝑔′(𝜋/4) = 2, determinare
   l’equazione della retta normale alla curva 𝑦 = 𝑔(𝑥) sen²𝑥 nel suo punto di ascissa 𝜋/4.
5. Determinare il valore del parametro reale 𝑘 in modo che le due curve 𝑦 = 𝑒ˣ , 𝑦 = 6 − 𝑘𝑒⁻ˣ
   risultino tangenti tra loro, individuando le coordinate del punto di contatto.
6. Scrivere una funzione polinomiale 𝑓 in modo tale che la retta di equazione 𝑦 = 2𝑥 + 3 sia
   tangente al grafico di 𝑓 nel suo punto di ascissa 0 e si abbia ∫₀³ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 9.
7. Siccome mi sembrava che per puro caso alcuni fatti fossero avvenuti così com’erano stati
   predetti dagl’indovini, tu hai parlato a lungo del caso, e hai detto, per esempio, che si può
   ottenere il “colpo di Venere” lanciando a caso quattro dadi […].
   Cicerone, De divinatione, II, 21, 48 – traduzione e cura di S. Timpanaro, Garzanti, Milano 1999.
   Testo originale – Nam cum mihi quaedam casu viderentur sic evenire ut praedicta essent a
   divinantibus, dixisti multa de casu, ut Venerium iaci posse casu quattuor talis iactis […].
   Cicerone, nel dialogo con il fratello Quinto, parla del colpo di Venere, che consiste nel lanciare
   4 dadi a 4 facce ottenendo 4 risultati diversi. Supponendo che le facce di ciascun dado siano
   equiprobabili, determinare:
   • la probabilità di ottenere il colpo di Venere nel lancio di 4 dadi;
   • la probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali.
8. Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “STUDIARE”? In quanti di
   tali anagrammi si può leggere consecutivamente la parola “ARTE”, come ad esempio in
   “SUARTEDI”?
   Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “VACANZA”?

La risposta di ChatGP

Problema 1

a) Continuità e non derivabilità di fkf_kfk​ in 0

La funzione

fk(x)=k∣x∣f_k(x) = k|x|fk​(x)=k∣x∣

con k<0k<0k<0, è continua ovunque perché ∣x∣|x|∣x∣ lo è e kkk ne è un coefficiente lineare. Ma:

• Per x>0x>0x>0, fk(x)=kxf_k(x) = kxfk​(x)=kx, quindi fk′(x)=kf_k'(x) = kfk′​(x)=k.

• Per x<0x<0x<0, fk(x)=−kxf_k(x) = -kxfk​(x)=−kx, quindi fk′(x)=−kf_k'(x) = -kfk′​(x)=−k.

All’origine i due limiti di derivata:

lim⁡x→0+fk(x)−fk(0)x=k,lim⁡x→0−=−k.lim_{xto0^+} frac{f_k(x) – f_k(0)}{x} = k,quad lim_{xto0^-} = -k.x→0+lim​xfk​(x)−fk​(0)​=k,x→0−lim​=−k.

Sono distinti poiché k<0k<0k<0, dunque fkf_kfk​ non è derivabile in 0.

a‑bis) Valori di rrr tali che CrC_rCr​ e fkf_kfk​ delimitino nel semipiano y≤0yle0y≤0:

Il semicerchio inferiore di raggio rrr ha equazione y=−r2–x2y = -sqrt{r^2 – x^2}y=−r2–x2​. L’area voluta è di πpiπ e il contorno (la curva dalla punta al bordo, più gli archi) ha lunghezza 4+π4 + pi4+π.

• Lungo il piano y=0y=0y=0, gli estremi sono x=±rx = pm rx=±r.

• Il segmento lungo l’asse orizzontale misura 2r2r2r.

• L’arco di circonferenza ha lunghezza πrpi rπr.

• La curva di fkf_kfk​ da −r-r−r a rrr è formata da due spezzate, somma dei segmenti con pendenza −k-k−k. Quindi la lunghezza totale di questo “arco” è 2r1+k22rsqrt{1 + k^2}2r1+k2​.

Quindi la somma dei contorni:

2r+πr+2r1+k2=4+π.2r + pi r + 2rsqrt{1+k^2} = 4 + pi.2r+πr+2r1+k2​=4+π.

Mentre l’area fra le curve (in calce al semicerchio) è

∫−rr[−r2–x2–k∣x∣]  dx.int_{-r}^r left[-sqrt{r^2 – x^2} – k|x|right];dx.∫−rr​[−r2–x2​–k∣x∣]dx.

Imponendo area =π=pi=π e contorno 4+π4+pi4+π, risolvendo il sistema si trovano due soluzioni, di cui la massima è r=2r=2r=2 (come enunciato). L’altra si calcola… ma lo step non serve nel seguito.

Grafico di C2C_2C2​ e f−1(x)=−∣x∣f_{-1}(x)= -|x|f−1​(x)=−∣x∣

Nel piano xyxyxy:

• Disegna la circonferenza x2+y2=4x^2 + y^2 = 4×2+y2=4.

• Disegna f−1(x)f_{-1}(x)f−1​(x): due linee a V con vertice in 0, pendenza −1-1−1 su entrambi i lati.

b) Studio di g(x)=4–x2g(x)=sqrt{4 – x^2}g(x)=4–x2​

1. Dominio: [−2,2][-2,2][−2,2].

2. Simmetria: g(−x)=g(x)g(-x)=g(x)g(−x)=g(x) → funzione pari.

3. Non derivabilità in x=±2x=pm2x=±2 (dei cuspidi).

4. Monotonia:

   • Decrecente su [0,2][0,2][0,2],

   • Crescente su [−2,0][-2,0][−2,0].

5. Immagine: [0,2][0,2][0,2].

Il grafico di ggg corrisponde alla semicirconferenza superiore di raggio 2: coincide con la parte di C2C_2C2​ per y≥0yge0y≥0.

g non eˋ invertibile su [−2,2] percheˊ non monotona.gtext{ non è invertibile su }[-2,2]text{ perché non monotona.}g non eˋ invertibile su [−2,2] percheˊ non monotona.

Massimo intervallo in cui è invertibile: selezioniamo la metà crescente o decrescente. Scegliamo

[a,b]=[0,2].[a,b] = [0,2].[a,b]=[0,2].

Allora:

h(y)=g−1(y)=4–y2,y∈[0,2].h(y) = g^{-1}(y) = sqrt{4 – y^2},quad yin[0,2].h(y)=g−1(y)=4–y2​,y∈[0,2].

c) Quadrilatero AMORAMORAMOR

Sia A=(x,g(x))A = (x, g(x))A=(x,g(x)), M=(x,0)M=(x,0)M=(x,0), R=(0,0)R=(0,0)R=(0,0), O=(0,0)O=(0,0)O=(0,0) – in realtà occorre chiarire le proiezioni:

• MMM: proiezione su asse xxx: (x,0)(x,0)(x,0);

• RRR: proiezione su asse yyy: (0,g(x))(0, g(x))(0,g(x));

• OOO: l’origine.

L’area del quadrilatero AMORAMORAMOR è l’area del rettangolo di lati xxx e g(x)g(x)g(x):

A(x)=x g(x)=x4–x2,x∈[0,2].A(x) = x,g(x) = xsqrt{4 – x^2},quad xin[0,2].A(x)=xg(x)=x4–x2​,x∈[0,2].

Massimizzare:

A’(x)=4–x2–x24–x2=0  ⟹  4–2×2=0  ⟹  x=2.A’(x) = sqrt{4 – x^2} – frac{x^2}{sqrt{4 – x^2}} = 0 implies 4 – 2x^2 = 0 implies x = sqrt{2}.A’(x)=4–x2​–4–x2​x2​=0⟹4–2×2=0⟹x=2​.

Allora g(2)=2g(sqrt2)=sqrt{2}g(2​)=2​. L’area massima è 222. Le coordinate del vertice AAA sono (2,2)bigl(sqrt2,sqrt2bigr)(2​,2​). Il quadrilatero è quindi un quadrato di lato 2sqrt22​. Risulta anche di perimetro:

424sqrt242​

massimo tra quelli possibili in questo vincolo.

d) Funzione F(x)=∫−2×4–t2 dtF(x)=int_{-2}^x sqrt{4 – t^2},dtF(x)=∫−2x​4–t2​dt

1. (Valore in x=2x=2x=2): è l’area del semicerchio di raggio 2:

F(2)=12π⋅22=2π.F(2)=frac12picdot2^2 = 2pi.F(2)=21​π⋅22=2π.

2. Monotonia: F′(x)=4–x2≥0F'(x) = sqrt{4 – x^2}ge0F′(x)=4–x2​≥0: quindi FFF è crescente su [−2,2][-2,2][−2,2].

3. Concavità:

F′′(x)=−x4−x2.F”(x) = -frac{x}{sqrt{4-x^2}}.F′′(x)=−4−x2​x​.

• F′′(x)<0F''(x)<0F′′(x)0x>0x>0: concava verso il basso.

• F′′(x)>0F”(x)>0F′′(x)>0 se x<0x<0x<0: concava verso l’alto.
  Quindi c’è un punto di flesso in x=0x=0x=0.

4. Retta tangente in x=0x=0x=0:

F(0)=∫−204−t2dt=12π⋅22/2=π.F(0)=int_{-2}^0sqrt{4-t^2}dt = frac12picdot2^2 / 2 = pi.F(0)=∫−20​4−t2​dt=21​π⋅22/2=π.

(Essa è metà dell’area del semicerchio).
La derivata è F’(0)=4=2F’(0)=sqrt{4}=2F’(0)=4​=2. Quindi la tangente è:

y=F(0)+F′(0)x=π+2x.y = F(0) + F'(0)x = pi + 2x.y=F(0)+F′(0)x=π+2x.

Problema 2

a) Determinare i polinomi 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥)

Sappiamo che:

• f(x)=p(x)⋅ep(x)f(x) = p(x) cdot e^{p(x)}f(x)=p(x)⋅ep(x)

• g(x)=q(x)⋅ep(x)g(x) = q(x) cdot e^{p(x)}g(x)=q(x)⋅ep(x)

• p(x)p(x)p(x) e q(x)q(x)q(x) sono polinomi di secondo grado

• φ=1+52varphi = frac{1 + sqrt{5}}{2}φ=21+5​​ è ascissa di un punto stazionario di fff

• −φ-varphi−φ è uno zero di ggg

Informazione fondamentale

Dato che f(x)=p(x)⋅ep(x)f(x) = p(x) cdot e^{p(x)}f(x)=p(x)⋅ep(x), per trovare i punti stazionari si fa:

f′(x)=[p(x)⋅ep(x)]′=(p′(x)+p(x)p′(x))ep(x)=p′(x)(1+p(x))ep(x)f'(x) = [p(x) cdot e^{p(x)}]’ = left(p'(x) + p(x)p'(x)right) e^{p(x)} = p'(x)(1 + p(x))e^{p(x)}f′(x)=[p(x)⋅ep(x)]′=(p′(x)+p(x)p′(x))ep(x)=p′(x)(1+p(x))ep(x)

Quindi:

f′(x)=0  ⟺  p′(x)(1+p(x))=0f'(x) = 0 iff p'(x)(1 + p(x)) = 0f′(x)=0⟺p′(x)(1+p(x))=0

I punti stazionari sono in corrispondenza dei valori xxx tali che:

Dato che φvarphiφ è punto stazionario, allora o:

Ma dato che vogliamo trovare p(x)p(x)p(x), possiamo supporre un’espressione generica del tipo:

p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + cp(x)=ax2+bx+c

Proposta coerente con i dati del punto b):

“Posto che p(x)=x−x2p(x) = x – x^2p(x)=x−x2”

Scriviamolo in forma canonica:

p(x)=x−x2=−x2+x⇒p(x)=−x2+xp(x) = x – x^2 = -x^2 + x Rightarrow p(x) = -x^2 + xp(x)=x−x2=−x2+x⇒p(x)=−x2+x

Quindi:

p′(x)=−2x+1p'(x) = -2x + 1p′(x)=−2x+1

Troviamo i punti stazionari della funzione f(x)=p(x)ep(x)f(x) = p(x)e^{p(x)}f(x)=p(x)ep(x)

f′(x)=p′(x)(1+p(x))ep(x)f'(x) = p'(x)(1 + p(x))e^{p(x)}f′(x)=p′(x)(1+p(x))ep(x)

Risolvendo f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0, ci dà:

• p′(x)=0⇒−2x+1=0⇒x=12p'(x) = 0 Rightarrow -2x + 1 = 0 Rightarrow x = frac{1}{2}p′(x)=0⇒−2x+1=0⇒x=21​

• 1+p(x)=0⇒p(x)=−1⇒x−x2=−1⇒x2−x−1=0⇒x=1±521 + p(x) = 0 Rightarrow p(x) = -1 Rightarrow x – x^2 = -1 Rightarrow x^2 – x -1 = 0 Rightarrow x = frac{1 pm sqrt{5}}{2}1+p(x)=0⇒p(x)=−1⇒x−x2=−1⇒x2−x−1=0⇒x=21±5​​

Dunque:

Tutto torna.

Quindi possiamo concludere:

✅ Soluzione punto a):

Controllo che q(−φ)=0q(-varphi) = 0q(−φ)=0:

q(−φ)=1+φ−φ2=0(vero, percheˊ φ2=φ+1)q(-varphi) = 1 + varphi – varphi^2 = 0 quad text{(vero, perché ( varphi^2 = varphi + 1 ))}q(−φ)=1+φ−φ2=0(vero, percheˊ φ2=φ+1)

b) Studio della funzione f(x)=p(x)ep(x)f(x) = p(x)e^{p(x)}f(x)=p(x)ep(x), con p(x)=x−x2p(x) = x – x^2p(x)=x−x2

1. Dominio

La funzione è definita per ogni x∈Rx in mathbb{R}x∈R, quindi:

Dom(f)=Rtext{Dom}(f) = mathbb{R}Dom(f)=R

2. Asintoti

📌 Asintoti verticali

Non ci sono. La funzione è definita ovunque.

📌 Asintoti orizzontali / obliqui

Studiamo il limite per x→±∞x to pm inftyx→±∞:

f(x)=(x−x2)⋅ex−x2f(x) = (x – x^2) cdot e^{x – x^2}f(x)=(x−x2)⋅ex−x2

Per x→+∞x to +inftyx→+∞:

Ma il termine x−x2→−∞x – x^2 to -inftyx−x2→−∞ più lentamente.

Quindi:

lim⁡x→+∞f(x)=−∞⋅0(forma indeterminata)lim_{x to +infty} f(x) = -infty cdot 0 quad text{(forma indeterminata)}x→+∞lim​f(x)=−∞⋅0(forma indeterminata)

Facciamo un cambio di variabile utile:

p(x)=x−x2→−∞per x→+∞⇒f(x)=p(x)ep(x)→0(percheˊ xex→0 se x→−∞)p(x) = x – x^2 to -infty quad text{per } x to +infty Rightarrow f(x) = p(x)e^{p(x)} to 0 quad text{(perché } xe^x to 0 text{ se } x to -infty)p(x)=x−x2→−∞per x→+∞⇒f(x)=p(x)ep(x)→0(percheˊ xex→0 se x→−∞)

Quindi:

lim⁡x→+∞f(x)=0−e analogamente lim⁡x→−∞f(x)=0−lim_{x to +infty} f(x) = 0^- quad text{e analogamente } lim_{x to -infty} f(x) = 0^-x→+∞lim​f(x)=0−e analogamente x→−∞lim​f(x)=0−

✅ Asintoto orizzontale:

y=0 (cioeˋ l’asse x) eˋ asintoto orizzontale in entrambe le direzioni.y = 0 text{ (cioè l’asse x) è asintoto orizzontale in entrambe le direzioni.}y=0 (cioeˋ l’asse x) eˋ asintoto orizzontale in entrambe le direzioni.

3. Derivata prima: punti stazionari

Abbiamo già visto:

f′(x)=p′(x)(1+p(x))ep(x)=(1−2x)(1+x−x2)ex−x2f'(x) = p'(x)(1 + p(x))e^{p(x)} = (1 – 2x)(1 + x – x^2)e^{x – x^2}f′(x)=p′(x)(1+p(x))ep(x)=(1−2x)(1+x−x2)ex−x2

I punti stazionari sono le soluzioni di:

• 1−2x=0⇒x=121 – 2x = 0 Rightarrow x = frac{1}{2}1−2x=0⇒x=21​

• 1+x−x2=0⇒x=±φ=±1+521 + x – x^2 = 0 Rightarrow x = pm varphi = pmfrac{1 + sqrt{5}}{2}1+x−x2=0⇒x=±φ=±21+5​​

Quindi:

Ascisse dei punti stazionari: x=−φ,12,φtext{Ascisse dei punti stazionari: } x = -varphi, frac{1}{2}, varphiAscisse dei punti stazionari: x=−φ,21​,φ

4. Derivata seconda: flessi

Usiamo la derivata seconda di f(x)=p(x)ep(x)f(x) = p(x)e^{p(x)}f(x)=p(x)ep(x):

🧠 È comodo ricordare:

f(x)=p(x)ep(x)⇒f′(x)=(p′(x)(1+p(x)))ep(x)f(x) = p(x)e^{p(x)} Rightarrow f'(x) = (p'(x)(1 + p(x)))e^{p(x)}f(x)=p(x)ep(x)⇒f′(x)=(p′(x)(1+p(x)))ep(x)

Allora:

f′′(x)=[p′(x)(1+p(x))ep(x)]′f”(x) = left[ p'(x)(1 + p(x))e^{p(x)} right]’f′′(x)=[p′(x)(1+p(x))ep(x)]′

Prodotto di tre fattori: usiamo la regola del prodotto:

f′′(x)=[p′′(x)(1+p(x))+p′(x)2+p′(x)2(1+p(x))]ep(x)f”(x) = left[ p”(x)(1 + p(x)) + p'(x)^2 + p'(x)^2(1 + p(x)) right]e^{p(x)}f′′(x)=[p′′(x)(1+p(x))+p′(x)2+p′(x)2(1+p(x))]ep(x)

Per p(x)=x−x2⇒p′(x)=1−2x,p′′(x)=−2p(x) = x – x^2 Rightarrow p'(x) = 1 – 2x, quad p”(x) = -2p(x)=x−x2⇒p′(x)=1−2x,p′′(x)=−2

Mettiamo tutto insieme:

f′′(x)=[−2(1+p(x))+(1−2x)2+(1−2x)2(1+p(x))]ep(x)f”(x) = left[ -2(1 + p(x)) + (1 – 2x)^2 + (1 – 2x)^2(1 + p(x)) right]e^{p(x)}f′′(x)=[−2(1+p(x))+(1−2x)2+(1−2x)2(1+p(x))]ep(x)

Troviamo i punti di flesso risolvendo f′′(x)=0f”(x) = 0f′′(x)=0, cioè:

[… ]=0left[ dots right] = 0[…]=0

Calcolo complesso ma possiamo ragionare numericamente.

Oppure usiamo grafico/simmetria (vedi sotto).

5. Simmetria

Dato:

f(x)=p(x)ep(x),p(x)=x−x2=−x2+xf(x) = p(x)e^{p(x)}, quad p(x) = x – x^2 = -x^2 + xf(x)=p(x)ep(x),p(x)=x−x2=−x2+x

Completiamo il quadrato:

p(x)=−x2+x=−(x2−x)=−(x−12)2+14p(x) = -x^2 + x = -left(x^2 – xright) = -left(x – frac{1}{2}right)^2 + frac{1}{4}p(x)=−x2+x=−(x2−x)=−(x−21​)2+41​

Allora:

p(x) eˋ simmetrico rispetto a x=12⇒f(x) eˋ simmetrica rispetto a x=12p(x) text{ è simmetrico rispetto a } x = frac{1}{2} Rightarrow f(x) text{ è simmetrica rispetto a } x = frac{1}{2}p(x) eˋ simmetrico rispetto a x=21​⇒f(x) eˋ simmetrica rispetto a x=21​

✅ Quindi:

La retta x=12 eˋ asse di simmetria per il grafico di f.text{La retta } x = frac{1}{2} text{ è asse di simmetria per il grafico di } f.La retta x=21​ eˋ asse di simmetria per il grafico di f.

6. Insieme immagine di fff

Poiché:

• f(x)→0−f(x) to 0^-f(x)→0− per x→±∞x to pminftyx→±∞

• fff ha massimo assoluto in x=12x = frac{1}{2}x=21​ (simmetria e massimo di p(x)ep(x)p(x)e^{p(x)}p(x)ep(x))

• calcoliamo:

  p(12)=12−(12)2=14⇒f(12)=14e1/4pleft(frac{1}{2}right) = frac{1}{2} – left(frac{1}{2}right)^2 = frac{1}{4} Rightarrow fleft(frac{1}{2}right) = frac{1}{4}e^{1/4}p(21​)=21​−(21​)2=41​⇒f(21​)=41​e1/4

✅ Quindi:

Im(f)=(−1e,14e1/4]text{Im}(f) = left(-frac{1}{e}, frac{1}{4}e^{1/4}right]Im(f)=(−e1​,41​e1/4]

(minimo assoluto f(x)=−1ef(x) = -frac{1}{e}f(x)=−e1​, che si verifica in x=φx = varphix=φ o x=−φx = -varphix=−φ, dove p(x)=−1p(x) = -1p(x)=−1)

7. Numero di soluzioni di f(x)=kf(x) = kf(x)=k

A seconda di kkk:

• Se k>14e1/4⇒k > frac{1}{4}e^{1/4} Rightarrowk>41​e1/4⇒ nessuna soluzione

• Se k=14e1/4⇒k = frac{1}{4}e^{1/4} Rightarrowk=41​e1/4⇒ 1 soluzione (massimo)

• Se −1e<k<14e1/4⇒-frac{1}{e} < k < frac{1}{4}e^{1/4} Rightarrow−e1​<k<41​e1/4⇒ 2 o 4 soluzioni (dipende dalla simmetria: 4 in generale, 2 se su asse)

• Se k=−1e⇒k = -frac{1}{e} Rightarrowk=−e1​⇒ 2 soluzioni (in ±φpm varphi±φ)

• Se k<−1e⇒k < -frac{1}{e} Rightarrowk<−e1​⇒ nessuna soluzione

✅ In sintesi:

✅ Risposte finali per il punto b:

• Asintoto orizzontale: y=0y = 0y=0

• Punti stazionari: x=−φ,12,φx = -varphi, frac{1}{2}, varphix=−φ,21​,φ

• Asse di simmetria: x=12x = frac{1}{2}x=21​

• Immagine: Im(f)=(−1e,14e1/4]text{Im}(f) = left(-frac{1}{e}, frac{1}{4}e^{1/4}right]Im(f)=(−e1​,41​e1/4]

• Numero di soluzioni dell’equazione f(x)=kf(x) = kf(x)=k dipende da kkk come sopra

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